Lineární zobrazení

Created by Karina Ganich

LZ prosté nebo na

Buď f : U → V lineární zobrazení, BU báze prostoru U a BV báze prostoru V . Pak:

(1) f je prosté právě tehdy, když BV [f]BU má lineárně nezávislé sloupce,

(2) f je „na“ právě tehdy, když BV [f]BU má lineárně nezávislé řádky.

Věta o dimenzi jádra a obrazu

Buď f : U → V lineární zobrazení, BU báze prostoru U a BV báze prostoru V . Označme A = BV [f ]BU . Pak:

(1) dim Ker(f) = dim Ker(A),

(2) dim f(U) = dim S(A) = rank(A).

Důkaz: podle Vlastnosti isomorfismu

Isomorfismus

Isomorfismus mezi prostory U, V nad tělesem T je vzájemně jednoznačné lineární zobrazení f : U → V . Pokud mezi prostory U , V existuje isomorfismus, pak říkáme, že U , V jsou isomorfní.

Vlastnosti isomorfismu

1. Je-li f : U → V isomorfismus, pak f −1 : V → U existuje a je to také isomorfismus.
2. Jsou-li f: U →V a g: V →W isomorfismy, pak g◦f: U →W je také isomorfismus.
3. Lineární zobrazení f : U → V je isomorfismem právě tehdy, když libovolná báze prostoru U se zobrazuje na bázi prostoru V .
4. Je-li f:U→V isomorfismus, pak dimU = dimV.

Lineární zobrazení f : U → V je isomorfismus právě tehdy, když nějaká (libovolná) matice reprezentující f je regulární.

Věta Lineární zobrazení a jednoznačnost vzhledem k obrazům báze

Buďte U, V prostory nad T a x1,...,xn báze U. Pak pro libovolné vektory y1,...,yn ∈ V existuje právě jedno lineární zobrazení takové, že f(xi) = yi, i = 1,...,n.

Věta o prostém lineárním zobrazení

Buď f : U → V lineární zobrazení. Pak následující jsou ekvivalentní:

(1) f je prosté,

(2) Ker(f) = {o},

(3) obraz libovolné lineárně nezávislé množiny je lineárně nezávislá množina.

f(x) = f(y) nastane jenom pro x = y

Důkaz: Dokážeme implikace (1) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇒ (1).

• Implikace „(1) ⇒ (2)“. Protože f(o) = o, tak o ∈ Ker(f). Ale vzhledem k tomu, že f je prostézobrazení, tak jádro už jiný prvek neobsahuje.
• Implikace „(2) ⇒ (3)“. Buďte x1,...,xn ∈ U lineárně nezávislé a nechť Suma n i=1   αif(xi) = o. Pak f(Suma n i=1   αixi) = o, čili Suma n i=1   αixi náleží do jádra Ker(f) = {o}. Tudíž musí Suma n i=1     αixi = o a z lineární nezávislosti vektorů máme αi = 0 pro všechna i.• Implikace „(3) ⇒ (1)“. Sporem předpokládejme, že existují dva různé vektory x,y ∈ U takové, že f (x) = f (y). Potom o = f (x) − f (y) = f (x − y). Vektor o představuje lineárně závislou množinu vektorů, tedy x − y musí být podle předpokladu (3) také lineárně závislá množina, a tudíž x − y = o, neboli x = y. To je spor.

Generátory prostoru

Nechť prostor U je lineárním obalem množiny vektorů W , tedy U = span(W ). Pak říkáme, že W generuje prostor U , a prvky množiny W jsou generátory prostoru U. Prostor U se nazývá konečně generovaný, jestliže je generovaný nějakou konečnou množinou vektorů.

Maticová reprezentace LZ

Buď f : U → V lineární zobrazení, B_U = {x1,...,xn} bázeprostoru U, a B_V ={y1,...,ym} báze prostoru V. Pak pro každé x∈U je   

[f (x)]B_V = B_V [f ]B_U · [x]B_U

Tedy pokud chceme spočítat matici LZ, tak sestrojíme matici (vektory z B_U | vektory z B_V) a spočítáme jí tak, že levou stranu převedeme na kanonickou bázi. Výsledkem bude pravá strana matice.

Jinak řečeno - najdeme inverzní matici k B_U a pak vynasobíme matici B_V  inverzem 

Matice lineárního zobrazení

Obraz a jádro

Buď f : U → V lineární zobrazení. Pak definujeme 

• obraz f(U) := {f(x);  x ∈ U},

• jádro Ker (f) := {x∈U; f(x) = o}

Obraz má význam jako obor hodnot zobrazení (na obrázku f(U)).

Jádro popisuje rysy LZ. Čím větší je jádro, tím více zobrazení vygeneruje, více vektorů se zobrazí na tu samou hodnotu - tím menší dimenzi bude mít obraz vzhledem k dimenzi U.

Důsledek: dim U = dim Ker(f) + dim f (U)

Důsledek 2: LZ f : U → V je „na“ právě tehdy, když se nějaké generátory prostoru U zobrazí na generátory prostoru V

Maticová reprezentace LZ

Lineární zobrazení

Buďte U, V vektorové prostory nad tělesem T. Zobrazení f : U → V je lineární, pokud pro každé x, y ∈ U a α ∈ T platí:

• f(x+y)=f(x)+f(y),

• f(αx) = αf(x).

Lineární zobrazení vnořuje jednu strukturu do druhé. Např. pokud platí rovnost x + y = z, platí i pro její obrazy f(x) + f(y) = f(z)

Jednoznačnost matice LZ

Buď f : U → V lineární zobrazení, B_U báze prostoru U a B_V báze prostoru V . Pak jediná matice A splňující [f (x)]B_V = B_V [f ]B_U · [x]B_U je A = B_V [f ]B_U

Matice přechodu

Buď V vektorový prostor a B1, B2 dvě jeho báze. Pak maticí přechodu od B1 k B2 nazveme matici B2 [id]B1.

Matice přechodu má pak podle maticové reprezentace tento význam: Buď x ∈ U, pak 

[x]B2 = B2 [id]B1 · [x]B1,

tedy pouhým maticovým násobením získáváme souřadnice vzhledem k jiné bázi. Zřejmě platí B[id]B = In pro libovolnou bázi B.

Maticí přechodu od báze B1 k bázi B2 by měla být matice, v jejíchž sloupcích budou souřadnice vektorů staré báze B1 vzhledem k nové bázi B2.

Spočitáme matici přechodu od B1 k B2 tak, že sestrojíme matici (vektory z B2 | vektory z B1) a levou stranu převedeme na kanonickou bázi. Výsledkem bude pravá strana matice.

Vektorové prostory

Buď T těleso s neutrálními prvky 0 pro sčítání a 1 pro násobení. Vektorovým prostorem nad tělesem T rozumíme množinu V s operacemi sčítání vektorů + : V² → V , a násobení vektoru skalárem: T×V →V splňující pro každé α,β∈T a u,v∈V:

(1) (V,+) je Abelova grupa, neutrální prvek značíme o a inverzní k v pak −v,  

(2) α(βv) = (αβ) (asociativita),

(3) 1v = v,

(4) (α + β)v = αv + βv (distributivita),

(5) α(u + v) = αu + αv (distributivita).

Matice složeného LZ

Duální prostor

Buď V vektorový prostor nad T. Pak lineární forma (nebo též lineární funkcionál) je libovolné lineární zobrazení z V do T. Duální prostor, značený V ∗, je vektorový prostor všech lineárních forem.