Lineární algebra

Created by Ema Tomanová

Hodnost matice

Hodnost matice (též Rank) je definována jako dimenze lineárního obalu souboru řádků matice. Je to číslo, které představuje počet nezávislých řádků nebo sloupců matice.

Pro matici A{\displaystyle \mathbf {A} } typu m×n{\displaystyle m\times n} platí

h(A)≤min{m,n}{\displaystyle h(\mathbf {A} )\leq \min\{m,n\}},

kde min{m,n}{\displaystyle \min\{m,n\}\,} představuje nejmenší hodnotu z množiny {m,n}{\displaystyle \{m,n\}\,}. Hodnost matice typu m×n{\displaystyle m\times n} je tedy menší nebo rovna menšímu z čísel m,n{\displaystyle m,n}.

Hodnost

Regulární

Regulární matice (v některé literatuře též invertibilní) je taková čtvercová matice, jejíž determinant je různý od nuly, tzn.

detA≠0{\displaystyle \det \mathbf {A} \neq 0}

Ekvivalentně lze též tvrdit:

• Její řádky jsou lineárně nezávislé.
• Její sloupce jsou lineárně nezávislé.
• Hodnost čtvercové regulární matice o velikosti n×n je právě n.
• Existuje k ní inverzní matice.
• Všechna její vlastní čísla jsou nenulová.

Opakem regulární matice je tzv. singulární matice s nulovým determinantem.

Diagonální

V lineární algebře označuje pojem diagonální matice čtvercovou matici n×n, která může mít nenulové prvky pouze na hlavní diagonále. Někdy se tento termín používá i pro obdélníkové matice, ale v tomto článku toto zobecnění nebudeme uvažovat.

Příkladem diagonální matice je matice

(10004000−3){\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&4&0\\0&0&-3\end{pmatrix}}}

Diagonální matice se někdy zapisuje jako diag(a₁, …, a_n), kde a_i odpovídá prvku matice a_ii. Matice v předchozím příkladu je tedy diag(1, 4, -3).

Každá jednotková matice a každá čtvercová nulová matice je diagonální maticí.

Singulární

Singulární matice je taková čtvercová matice, jejíž determinant je roven nule, tzn.

detA=0{\displaystyle \det \mathbf {A} =0}

Ekvivalentně lze též tvrdit:

• Její řádky jsou lineárně závislé.
• Její sloupce jsou lineárně závislé.
• Hodnost čtvercové singulární matice o velikosti n×n je menší než n.
• Neexistuje k ní inverzní matice.

Opakem singulární matice je tzv. regulární matice s nenulovým determinantem.

Matice

Matice je obdélníkové či čtvercové schéma čísel nebo nějakých matematických objektů – prvků matice (též elementů matice). Obsahuje obecně m řádků a n sloupců. Hovoříme pak o matici typu m×n{\displaystyle \scriptstyle m\times n

Hodnost transpozice

Hodnost matice a transpozice:

Pro libovolnou matici A∈R^m×n platí

rank(A) = rank(A^T)

Jednotková

V lineární algebře označuje pojem jednotková matice velikosti n čtvercovou matici n×n{\displaystyle n\times n}, která má na hlavní diagonále jedničky a na ostatních místech nuly. Jednotková matice se značí I_n, případně jen I, je-li velikost nepodstatná nebo lze-li ji odvodit z kontextu

I1=[1], I2=[1001], I3=[100010001], ⋯, In=[10⋯001⋯0⋮⋮⋱⋮00⋯1]{\displaystyle I_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\ I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ I_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\ \cdots ,\ I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}}

Důležitou vlastností I_n je

AI_n = A   a   I_nB = B

Typy matic

Inverzní matice

Inverzní matice k dané regulární matici je taková matice, která po vynásobení s původní maticí dá jednotkovou matici. Inverzní matici k matici A značíme A⁻¹.

Vynásobením regulární matice s její inverzí dostáváme jednotkovou matici.

A⋅A−1=A−1⋅A=1,{\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {A} ^{-1}=\mathbf {A} ^{-1}\cdot \mathbf {A} =\mathbf {1} ,}

kde 1 je jednotková matice.

Inverzní matici lze sestrojit pouze pro regulární matici – čtvercovou matici jejíž determinant není roven nule.

Inverze

Trojúhelníková

Matici, která má všechny prvky pod hlavní diagonálou nulové, označujeme jako horní trojúhelníkovou matici. Taková matice má tvar

(a11a12⋯a1n0a22⋯a2n⋮⋮⋱⋮00⋯ann){\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\0&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &a_{nn}\end{pmatrix}}}

Podobně označujeme jako dolní trojúhelníkovou matici takovou matici, která má všechny prvky nad diagonálou nulové.

Transpozice

Matici, která vznikne z matice A{\displaystyle \mathbf {A} } vzájemnou výměnou řádků a sloupců, označujeme jako transponovanou matici a značíme AT{\displaystyle \mathbf {A} ^{T}}. Pro jednotlivé prvky transponované matice platí

aijT=aji{\displaystyle a_{ij}^{T}=a_{ji}\,}.

Pokud má matice A{\displaystyle \mathbf {A} } rozměry (m,n){\displaystyle (m,n)}, pak její transpozicí vznikne matice o rozměrech (n,m){\displaystyle (n,m)}.

Vlastnosti transpozice

Dvojitou transpozicí získáváme zpět původní matici:

(AT)T=A{\displaystyle \left(\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\right)^{\mathrm {T} }=\mathbf {A} \quad \,}.

Násobení skalárem se dá vytknout před operaci transpozice:

(cA)T=cAT{\displaystyle (c\mathbf {A} )^{\mathrm {T} }=c\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\,}

Transpozice součtu matic je součtem transponovaných matic:

(A+B)T=AT+BT{\displaystyle (\mathbf {A} +\mathbf {B} )^{\mathrm {T} }=\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }+\mathbf {B} ^{\mathrm {T} }\,}

Transpozice součinu dvou matic je součinem transponovaných matic v obráceném pořadí:

(AB)T=BTAT{\displaystyle \left(\mathbf {AB} \right)^{\mathrm {T} }=\mathbf {B} ^{\mathrm {T} }\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\,}

Transpozice inverzní matice je rovna inverzi transponované matice:

(AT)−1=(A−1)T{\displaystyle \left(\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\right)^{\mathrm {-1} }=\left(\mathbf {A} ^{\mathrm {-1} }\right)^{\mathrm {T} }\,}

 

Skládání zobrazení

Složené zobrazení z lineárních zobrazení je opět lineární. Přesněji, nechť A∈L(X,Y){\displaystyle \scriptstyle A\in {\mathcal {L}}(X,Y)} a B∈L(Y,Z){\displaystyle \scriptstyle B\in {\mathcal {L}}(Y,Z)}. Pak složené zobrazení BA definované vztahem

(BA)(x→)=B(A(x→)){\displaystyle (BA)({\vec {x}})=B(A({\vec {x}}))}

pro všechna x→∈X{\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}\in X} je lineární, tj. BA∈L(X,Z){\displaystyle \scriptstyle BA\in {\mathcal {L}}(X,Z)}.

Důkaz: Vezměme libovolné α∈T{\displaystyle \scriptstyle \alpha \in \mathbb {T} } a libovolné vektory x→,y→∈X{\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}},{\vec {y}}\in X}. Pak (BA)(αx→+y→)=B(αA(x→)+A(y→))=αB(A(x→))+B(A(y→))=α(BA)(x→)+(BA)(y→){\displaystyle \scriptstyle (BA)(\alpha {\vec {x}}+{\vec {y}})=B(\alpha A({\vec {x}})+A({\vec {y}}))=\alpha B(A({\vec {x}}))+B(A({\vec {y}}))=\alpha (BA)({\vec {x}})+(BA)({\vec {y}})}, což je ekvivalentní linearitě složeného zobrazení.

Lineární zobrazení

Nechť X a Y jsou vektorové prostory nad týmž tělesem T{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {T} }. Zobrazení L{\displaystyle \scriptstyle L} z prostoru X do prostoru Y, tj. L:X→Y{\displaystyle \scriptstyle L:X\to Y}, se nazývá lineární zobrazení, právě když pro libovolné vektory x→,y→∈X{\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}},{\vec {y}}\in X} a pro libovolný prvek α{\displaystyle \scriptstyle \alpha } z tělesa T{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {T} } toto zobrazení splňuje následující dvě podmínky:

• aditivita: L(x→+y→)=L(x→)+L(y→){\displaystyle L({\vec {x}}+{\vec {y}})=L({\vec {x}})+L({\vec {y}})},
• homogenita: L(αx→)=αL(x→){\displaystyle L(\alpha {\vec {x}})=\alpha L({\vec {x}})}.

Obraz vektoru x→∈X{\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}\in X} při lineárním zobrazení L{\displaystyle \scriptstyle L} se značí L(x→){\displaystyle \scriptstyle L({\vec {x}})}. Často se ale pro jednoduchost závorky vypouští a píše se jen Lx→{\displaystyle \scriptstyle L{\vec {x}}}. Podobně obraz množiny P⊂X{\displaystyle \scriptstyle P\subset X} se značí L(P){\displaystyle \scriptstyle L(P)}.

Lineární struktura zobrazení i vektorového prostoru, na kterém je definováno, umožňuje velmi zjednodušit zápis, jakým toto zobrazení působí na libovolný vektor. Tato vlastnost tím spíše vyplyne na konečněrozměrných prostorech. Pro konkrétnost mějme vektorový prostor Xn{\displaystyle \scriptstyle X_{n}} konečné dimenze n. Existuje v něm tedy n-členná báze x→1,…,x→n{\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}} a každý vektor x→{\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}} tohoto prostoru lze vyjádřit jako vhodnou lineární kombinaci x→=∑i=1nαix→i{\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}{\vec {x}}_{i}}. Využijeme-li nyní linearity zobrazení A, dostáváme

y→=A(x→)=A(∑i=1nαix→i)=∑i=1nαiA(x→i).{\displaystyle {\vec {y}}=A({\vec {x}})=A\left(\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}{\vec {x}}_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}A({\vec {x}}_{i}).}

Obraz každého vektoru y→{\displaystyle \scriptstyle {\vec {y}}} lze tedy vyjádřit jako nějakou lineární kombinaci vektorů A(x→i){\displaystyle \scriptstyle A({\vec {x}}_{i})}, kde koeficienty jsou totožné s koeficienty u vzoru x→{\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}}. Celou informaci o struktuře zobrazení A lze tak získat pouze ze znalosti toho, jak působí na bazické vektory. Rozvinutím právě uvedené myšlenky pak dospíváme k definici matice lineárního zobrazení, jak je uvedeno níže.

Jádro

Jako jádro matice A nebo také nulový prostor matice A se nazývá množina všech řešení homogenní soustavy lineárních rovnic Ax=o. Označujeme se Ker A.

Pozorování 1: Jsou-li u a w dvě řešení soustavy lineárních rovnic Ax = b, pak w - u je řešením soustavy Ax = o.

Pozorování 2: Je-li u řešením soustavy Ax = b a v řešení příslušně homogení soustavy Ax = o, pak u + v je také řešením soustavy Ax = b.

Věta: Je-li u jedno pevně zvolené partikulární řešení soustavy lineárních rovnic Ax=b nad tělesem T, pak se množina všech řešení této soustavy rovná {u+v : v ∈ Ker A} = u + Ker A.

Důkaz: Je-li w řešení soustavy Ax=b, pak (w - u) ∈ Ker A (podle pozorování 1) a tedy w = u + (w - u) ∈ {u + v : v ∈ Ker A}. Naopak pro libovolné v ∈ Ker A je u + v řešením soustavy Ax=b (podle pozorování 2).

Jádro lineárního zobrazení

Jádro lineárního zobrazení A je taková podmnožina definičního oboru A, kterou A zobrazuje na nulový vektor. Jádro zobrazení A značíme symbolem ker⁡A{\displaystyle \scriptstyle \ker A} (jedná se o zkratku ze slova kernel, anglického označení pro jádro). Přesněji: Mějme dva vektorové prostory X a Y nad stejným tělesem T{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {T} }. Dále nechť A je lineární zobrazení z X do Y, tj.A∈L(X,Y){\displaystyle \scriptstyle A\in {\mathcal {L}}(X,Y)}. Pak jádro zobrazení A je množina

ker⁡A={x→∈X|A(x→)=0→Y},{\displaystyle \ker A=\{{\vec {x}}\in X|A({\vec {x}})={\vec {0}}_{Y}\},}

kde 0→Y{\displaystyle \scriptstyle {\vec {0}}_{Y}} označuje nulový vektor v prostoru Y. Dimenze jádra zobrazení A, tj. dim⁡ker⁡A{\displaystyle \scriptstyle \dim \ker A}, se občas označuje jako defekt zobrazení A. Z vlastností v oddíle Nulový vektor je vidět, že nulový vektor leží v jádře každého lineárního zobrazení. Dokonce lze dokázat následující tvrzení: Lineární zobrazení je prosté právě tehdy, když v jeho jádru leží pouze nulový vektor (důkaz viz Prostota zobrazení). Neboť množina {0→Y}{\displaystyle \scriptstyle \{{\vec {0}}_{Y}\}} je také vektorový (pod)prostor, tak lze využít tvrzení z oddílu Obrazy a vzory vektorů a jejich podprostorů o vzoru podprostoru abychom uviděli, že jádro zobrazení je vektorový podprostor, tj.

(∀A∈L(X,Y))(ker⁡A⊂⊂X).{\displaystyle (\forall A\in {\mathcal {L}}(X,Y))(\ker A\subset \subset X).}

Inverzní zobrazení

• nverze k lineárnímu zobrazení je opět lineární zobrazení. Přesněji, nechť je A∈L(X,Y){\displaystyle \scriptstyle A\,\in {\mathcal {L}}(X,Y)} izomorfní zobrazení (tj. lineární bijekce definovaná na celém X), pak existuje inverzní zobrazení A−1{\displaystyle \scriptstyle A^{-1}}, které je též izomorfní.

Důkaz: Neboť je z předpokladů A bijekce, tak určitě existuje její inverze A−1{\displaystyle \scriptstyle A^{-1}}, zbývá ověřit její linearitu. Označme si x→=A−1(u→){\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}=A^{-1}({\vec {u}})}, y→=A−1(v→){\displaystyle \scriptstyle {\vec {y}}=A^{-1}({\vec {v}})}, kde vektory u→,v→∈Y{\displaystyle \scriptstyle {\vec {u}},{\vec {v}}\in Y} jsme si vybrali libovolně. Z linearity zobrazení A plyne A(αx→+y→)=αA(x→)+A(y→)=αu→+v→{\displaystyle \scriptstyle A(\alpha {\vec {x}}+{\vec {y}})=\alpha A({\vec {x}})+A({\vec {y}})=\alpha {\vec {u}}+{\vec {v}}}. Zobrazení A tedy vektoru αx→+y→{\displaystyle \scriptstyle \alpha {\vec {x}}+{\vec {y}}} přiřadilo vektor αu→+v→{\displaystyle \scriptstyle \alpha {\vec {u}}+{\vec {v}}}. Jeho inverze tedy učiní opak dostávajíc A−1(αu→+v→)=αx→+y→{\displaystyle \scriptstyle A^{-1}(\alpha {\vec {u}}+{\vec {v}})=\alpha {\vec {x}}+{\vec {y}}}. Když si rozepíšeme, jak vznikly vektory x→{\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}} a y→{\displaystyle \scriptstyle {\vec {y}}} dospíváme k výrazu A−1(αu→+v→)=αA−1(u→)+A−1(v→){\displaystyle \scriptstyle A^{-1}(\alpha {\vec {u}}+{\vec {v}})=\alpha A^{-1}({\vec {u}})+A^{-1}({\vec {v}})}, což je ekvivalentní s linearitou zobrazení A−1{\displaystyle \scriptstyle A^{-1}}.

 

Maticová reprezentace

Linearita nějakého zobrazení je natolik omezující vlastnost, že pro charakterizaci takovéhoto zobrazení stačí uvést jeho hodnoty jen v (relativně) malém počtu bodů. Tato vlastnost tím více vyplyne na konečněrozměrných vektorových prostorech. Pro konkrétnost tedy mějme lineární zobrazení A∈L(Xn,Ym){\displaystyle \scriptstyle A\in {\mathcal {L}}(X_{n},Y_{m})}, kde oba vektorové prostory jsou konečných dimenzí, dim⁡Xn=n,dim⁡Ym=m{\displaystyle \scriptstyle \dim X_{n}=n,\dim Y_{m}=m}. V obou prostorech tedy existuje jejich báze, označme bazické vektory prostoru X jako x→1,…,x→n{\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}} a podobně nechť y→1,…,y→m{\displaystyle \scriptstyle {\vec {y}}_{1},\ldots ,{\vec {y}}_{m}} je báze prostoru Y. Libovolný vektor x→{\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}} z prostoru X lze tedy zapsat jako lineární kombinaci bazických vektorů

x→=∑i=1nαix→i.{\displaystyle {\vec {x}}=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}{\vec {x}}_{i}.}

Pak působením zobrazení A na takovýto vektor x→{\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}} dostáváme vektor A(x→)=y→{\displaystyle \scriptstyle A({\vec {x}})={\vec {y}}}, pro nějž platí

y→=A(x→)=A(∑i=1nαix→i)=∑i=1nαiA(x→i).{\displaystyle {\vec {y}}=A({\vec {x}})=A\left(\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}{\vec {x}}_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}A({\vec {x}}_{i}).}

Dále, vektory A(x→1),…,A(x→n){\displaystyle \scriptstyle A({\vec {x}}_{1}),\ldots ,A({\vec {x}}_{n})} leží v prostoru Y, takže je lze vyjádřit jako lineární kombinace bazických vektorů y→j{\displaystyle \scriptstyle {\vec {y}}_{j}} ve tvaru

A(x→i)=∑j=1mβjiy→j.{\displaystyle A({\vec {x}}_{i})=\sum _{j=1}^{m}\beta _{ji}{\vec {y}}_{j}.}

Například pro vektor A(x→1){\displaystyle \scriptstyle A({\vec {x}}_{1})} tak máme A(x→1)=∑j=1mβj1y→j{\displaystyle \scriptstyle A({\vec {x}}_{1})=\sum _{j=1}^{m}\beta _{j1}{\vec {y}}_{j}}, pro vektor A(x→2){\displaystyle \scriptstyle A({\vec {x}}_{2})} máme A(x→2)=∑j=1mβj2y→j{\displaystyle \scriptstyle A({\vec {x}}_{2})=\sum _{j=1}^{m}\beta _{j2}{\vec {y}}_{j}}, pro vektor A(x→3){\displaystyle \scriptstyle A({\vec {x}}_{3})} máme A(x→3)=∑j=1mβj3y→j{\displaystyle \scriptstyle A({\vec {x}}_{3})=\sum _{j=1}^{m}\beta _{j3}{\vec {y}}_{j}} atd. Celkově tedy

y→=∑i=1nαiA(x→i)=∑i=1nαi(∑j=1mβjiy→j)=∑i=1n∑j=1mαiβjiy→j.{\displaystyle {\vec {y}}=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}A({\vec {x}}_{i})=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\left(\sum _{j=1}^{m}\beta _{ji}{\vec {y}}_{j}\right)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m}\alpha _{i}\beta _{ji}{\vec {y}}_{j}.}

Rozeberme nyní právě obdržený výraz. Koeficienty αi{\displaystyle \scriptstyle \alpha _{i}} v tomto výrazu pocházejí z lineární kombinace pro vstupní vektor x→{\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}} a vektory y→j{\displaystyle \scriptstyle {\vec {y}}_{j}} jsou předem zadaná báze prostoru Y. Jediné, co tedy charakterizuje zobrazení A samotné jsou tak prvky βji{\displaystyle \scriptstyle \beta _{ji}}. Tyto si můžeme uspořádat do matice tvaru

(β11β12β13…β1nβ21β22β23…β2nβ31β32β33…β3n⋮⋮⋮⋱⋮βm1βm2βm3…βmn).{\displaystyle {\begin{pmatrix}\beta _{11}&\beta _{12}&\beta _{13}&\dots &\beta _{1n}\\\beta _{21}&\beta _{22}&\beta _{23}&\dots &\beta _{2n}\\\beta _{31}&\beta _{32}&\beta _{33}&\dots &\beta _{3n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\beta _{m1}&\beta _{m2}&\beta _{m3}&\dots &\beta _{mn}\end{pmatrix}}.}

Této matici se říká matice zobrazení A v bázích X{\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {X}}} a Y{\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {Y}}}, kde jsme označili bázi prostoru X jako X={x→1,…,x→n}{\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {X}}=\{{\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}\}} a bázi prostoru Y jako Y={y→1,…,y→m}{\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {Y}}=\{{\vec {y}}_{1},\ldots ,{\vec {y}}_{m}\}}. Tato matice plně popisuje strukturu lineárního zobrazení A. Značí se symbolem

XAY{\displaystyle {}^{\mathcal {X}}A^{\mathcal {Y}}}.

Násobení matic

Máme-li matici A typu m×s a matici B typu s×n, pak jejich součinem je matice C typu m×n, který značíme

C=A⋅B{\displaystyle \mathbf {C} =\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} },

přičemž prvky matice C jsou určeny jako

cij=∑k=1saikbkj{\displaystyle c_{ij}=\sum _{k=1}^{s}a_{ik}b_{kj}}

nebo

cji=∑k=1sakibjk{\displaystyle c_{j}^{i}=\sum _{k=1}^{s}a_{k}^{i}b_{j}^{k}}.

Gaussova eliminace

Gaussova eliminační metoda (Gaussova eliminace) je metodou řešení soustavy lineárních algebraických rovnic. Jedná se o metodu konečnou, tj. metodu vedoucí k (alespoň teoreticky) přesnému řešení v konečně mnoha krocích, postavenou na tzv. LU rozkladu matice soustavy. Lze dokázat, že Gaussova eliminace převede každou matici do odstupňovaného tvaru (tvar, kde počet nul na začátku i{\displaystyle i}-tého řádku je alespoň takový jako počet nul na začátku (i−1){\displaystyle (i-1)}-tého řádku). ^[1]

Sloupcový & řádkový prostor

In linear algebra, the column space (also called the range or image) of a matrix A is the span (set of all possible linear combinations) of its column vectors. The column space of a matrix is the image or range of the corresponding matrix transformation.

Let F{\displaystyle \mathbb {F} } be a field. The column space of an m × n matrix with components from F{\displaystyle \mathbb {F} } is a linear subspace of the m-space Fm{\displaystyle \mathbb {F} ^{m}}. The dimension of the column space is called the rank of the matrix and is at most min(m, n).^[1] A definition for matrices over a ring K{\displaystyle \mathbb {K} } is also possible.

The row space is defined similarly.

The row space and the column space of a matrix A are sometimes denoted as C(A^T) and C(A) respectively.^[2]

This article considers matrices of real numbers. The row and column spaces are subspaces of the real spaces Rn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} and Rm{\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} respectively.

Lineární závislost

Vektory x→1,…,x→k{\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{k}} jsou lineárně závislé, právě když platí

(∃(α1,…,αk)∈Tk)(∑i=1kαix→i=0→∧∑i=1k|αi|>0).{\displaystyle {\Big (}\exists (\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{k})\in T^{k}{\Big )}\left(\sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}{\vec {x}}_{i}={\vec {0}}\quad \wedge \quad \sum _{i=1}^{k}|\alpha _{i}|>0\right).}

Isomorfismus

Předpokládejme, že na množině X{\displaystyle X\,\!} jsou definovány relace R1,R2,…,Rn{\displaystyle R_{1},R_{2},\ldots ,R_{n}\,\!} a na množině Y{\displaystyle Y\,\!} jsou definovány relace S1,S2,…,Sn{\displaystyle S_{1},S_{2},\ldots ,S_{n}\,\!}. Řekneme, že zobrazení F{\displaystyle F\,\!} je izomorfismus mezi X{\displaystyle X\,\!} a Y{\displaystyle Y\,\!} vzhledem k relacím R1,R2,…,Rn{\displaystyle R_{1},R_{2},\ldots ,R_{n}\,\!} a S1,S2,…,Sn{\displaystyle S_{1},S_{2},\ldots ,S_{n}\,\!}, pokud platí:

• F{\displaystyle F\,\!} je vzájemně jednoznačné zobrazení mezi X{\displaystyle X\,\!} a Y{\displaystyle Y\,\!}
• pokud jsou Ri,Si{\displaystyle R_{i},S_{i}\,\!} j-ární relace, potom ∀x1,x2,…,xj∈X:[x1,x2,…,xj]∈Ri⇔[F(x1),F(x2),…,F(xj)]∈Si{\displaystyle \forall x_{1},x_{2},\ldots ,x_{j}\in X:[x_{1},x_{2},\ldots ,x_{j}]\in R_{i}\Leftrightarrow [F(x_{1}),F(x_{2}),\ldots ,F(x_{j})]\in S_{i}\,\!}.

Řekneme, že struktury X,R1,R2,…,Rn{\displaystyle X,R_{1},R_{2},\ldots ,R_{n}\,\!} a Y,S1,S2,…,Sn{\displaystyle Y,S_{1},S_{2},\ldots ,S_{n}\,\!} jsou izomorfní, pokud mezi nimi existuje nějaký izomorfismus ve smyslu výše uvedené definice.

RREF tvar matice

A matrix is in reduced row echelon form (also called row canonical form) if it satisfies the following conditions:^[3]

• It is in row echelon form.
• The leading entry in each nonzero row is a 1 (called a leading 1).
• Each column containing a leading 1 has zeros in all its other entries.

REF tvar matice

Matice A∈R^m×n je v řádkově odstupňovaném tvaru, pokud existuje r takové, že platí

• řádky 1, . . . ,r jsou nenulové(tj. každý obsahuje alespoň jednu nenulovou hodnotu),
• řádky r+1, . . . ,m jsou nulové,a navíc označíme-li jako p_i= min{j;a_ij!=0} pozici prvníhon enulového prvku v i-tém řádku, tak platí

p1<p2<· · ·<p 

Maticové prostory

Matice přechodu

Matice jsou užitečný nástroj na spočtení souřadnic vektoru v nějaké bázi, pokud známe jeho souřadnice v jiné bázi. Pokud {e1,…,en}{\displaystyle \scriptstyle \{e_{1},\ldots ,e_{n}\}} a {e1′,…,en′}{\displaystyle \scriptstyle \{e_{1}',\ldots ,e_{n}'\}} jsou dvě báze, pro které platí ej′=∑ieiaji,{\displaystyle \scriptstyle e_{j}'=\sum _{i}e_{i}a_{\,\,j}^{i},}, neboli

(e1′,…,en′)=(e1,…,en)A,{\displaystyle (e_{1}',\ldots ,e_{n}')=(e_{1},\ldots ,e_{n})A,}

pak matice A=(aji){\displaystyle \scriptstyle \mathbf {A} =(a_{\,\,j}^{i})} se nazývá matice přechodu od báze {ei}i{\displaystyle \scriptstyle \{e_{i}\}_{i}} k bázi {ei′}i{\displaystyle \scriptstyle \{e_{i}'\}_{i}}. Pro souřadnice pak platí

A−1(x1…xn){ei}i=(x′1…x′n){ei′}i,{\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}\left({\begin{array}{c}x^{1}\\\ldots \\x^{n}\end{array}}\right)_{\{e_{i}\}_{i}}=\left({\begin{array}{c}x'^{1}\\\ldots \\x'^{n}\end{array}}\right)_{\{e_{i}'\}_{i}},}

kde xi{\displaystyle \scriptstyle x^{i}} jsou souřadnice libovolného vektoru v bázi {ei}i{\displaystyle \scriptstyle \{e_{i}\}_{i}} a x′i{\displaystyle \scriptstyle x'^{i}} jsou jeho souřadnice v bázi {ei′}i{\displaystyle \scriptstyle \{e_{i}'\}_{i}} a A−1{\displaystyle \scriptstyle \mathbf {A} ^{-1}} je inverzní matice k matici A{\displaystyle \scriptstyle \mathbf {A} }.

Úpravy

Obraz

Buď f:U→V lineární zobrazení. Pak definujeme

obraz f(U):={f(x);x∈U}

Prostor

Prostor je v matematice obvykle označení pro geometrický, topologický případně množinový objekt. V užším smyslu se prostorem rozumí třírozměrný fyzikální prostor, v kterém jsme zvyklí si vytvářet své geometrické představy. Obecněji může prostor znamenat v závislosti na kontextu topologický prostor,^[1] varietu, metrický prostor, ^[2] množinu s nějakou přidanou algebraickou strukturou,^[3] vektorový prostor,^[4] anebo jenom samotnou množinu.^[5]

Lineární kombinace

Uvažujme vektorový prostor V{\displaystyle \scriptstyle V} nad tělesem T{\displaystyle \scriptstyle T}. Dále nechť x→∈V{\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}\in V} je nějaký vektor a x→1,…,x→k{\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{k}} je soubor k{\displaystyle \scriptstyle k} vektorů z prostoru V{\displaystyle \scriptstyle V}. Pak říkáme, že vektor x→{\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}} je lineární kombinací (angl. linear combination) vektorů x→1,…,x→k{\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{k}}, právě když existuje k{\displaystyle \scriptstyle k}-tice čísel z tělesa α1,…,αk∈T{\displaystyle \scriptstyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{k}\in T} taková, že lze vektor x→{\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}} vyjádřit ve tvaru sumy

x→=α1x→1+…+αkx→k=∑i=1kαix→i.{\displaystyle {\vec {x}}=\alpha _{1}{\vec {x}}_{1}+\ldots +\alpha _{k}{\vec {x}}_{k}=\sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}{\vec {x}}_{i}.}

Gauss-Jordanova eliminace

Vektorový podprostor

Mějme vektorový prostor V{\displaystyle \scriptstyle V} nad tělesem T{\displaystyle \scriptstyle T}. Dále buď P{\displaystyle \scriptstyle P} neprázdná podmnožina prostoru V{\displaystyle \scriptstyle V}, která splňuje

1. (∀x→∈P)(∀y→∈P)(x→+y→∈P),{\displaystyle (\forall {\vec {x}}\in P)(\forall {\vec {y}}\in P)({\vec {x}}+{\vec {y}}\in P),}
2. (∀α∈T)(∀x→∈P)(αx→∈P).{\displaystyle (\forall \alpha \in T)(\forall {\vec {x}}\in P)(\alpha {\vec {x}}\in P).}

Pak množinu P{\displaystyle \scriptstyle P} nazýváme podprostorem vektorového prostoru V{\displaystyle \scriptstyle V} a značíme P⊂⊂V{\displaystyle \scriptstyle P\subset \subset V}.

Vektor

V matematice je vektor definován jako prvek vektorového prostoru. V něm lze zavést bázi a dále souřadnice daného vektoru vzhledem k této bázi. Pokud je vektorový prostor konečnědimenzionální, souřadnice vektoru tvoří uspořádané n-tice čísel, označovaných jako složky (též komponenty) vektoru. Speciálně, pokud se za vektorový prostor volí kartézský součin množin reálných či komplexních čísel, tj. pokud je za vektorový prostor bráno Rn{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{n}} či Cn{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} ^{n}} pro nějaké přirozené číslo n, tak se jeho prvky nazývají aritmetické vektory. Počet složek vektoru je roven dimenzi vektorového prostoru.

Dimenze

Nechť V{\displaystyle \scriptstyle V} je vektorový prostor a uvažujme podmnožinu množiny přirozených čísel, kterou označíme N0{\displaystyle \scriptstyle N_{0}} a definujeme vztahem

N0={n∈N∪{0}| každý (n+1)−členný soubor vektorů z V je lineárně závislý}.{\displaystyle N_{0}=\{n\in \mathbb {N} \cup \{0\}|{\text{ každý }}(n+1)-{\text{členný soubor vektorů z }}V{\text{ je lineárně závislý}}\}.}

Jestliže je množina N0{\displaystyle \scriptstyle N_{0}} neprázdná, tak říkáme, že vektorový prostor V{\displaystyle \scriptstyle V} má konečnou dimenzi, která je rovna číslu minN0{\displaystyle \scriptstyle \min N_{0}}. Značíme,

dim⁡V=minN0.{\displaystyle \dim V=\min N_{0}.}

Pokud je množina N0{\displaystyle \scriptstyle N_{0}} prázdná, tj. N0=∅{\displaystyle \scriptstyle N_{0}=\emptyset }, tak říkáme, že vektorový prostor V{\displaystyle \scriptstyle V} má nekonečnou dimenzi a píšeme

dim⁡V=∞.{\displaystyle \dim V=\infty .}

Soustavy lineárních rovnic

Obecně může být soustava m lineárních rovnic s n proměnnými zapsána jako

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a_1nx_n = b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a_2nx_n = b₂    :    :a_m1x₁ + a_m2x₂ + … + a_mnx_n = b_m,

kde proměnné x₁, … ,x_n jsou neznámé a a_ij jsou koeficienty soustavy rovnic. Čísla bi{\displaystyle b_{i}}, kde i=1,2,...,m{\displaystyle i=1,2,...,m}, jsou absolutní členy soustavy (nebo také tzv. pravá strana soustavy). V obecném případě mohou být koeficienty i absolutní členy komplexními čísly.

Koeficienty lze zapsat ve tvaru matice:

A=(a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋱⋮am1am2⋯amn){\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}}}

Tuto matici označujeme jako matici soustavy.

Vektorový prostor

Nechť jsou dány

1. neprázdná množina V{\displaystyle \scriptstyle V}, jejíž prvky nazýváme vektory,
2. těleso T{\displaystyle \scriptstyle T} (s operacemi sčítání + a násobení ⋅{\displaystyle \scriptstyle \cdot }),
3. zobrazení ⊕: V×V→V{\displaystyle \scriptstyle \oplus :\ V\times V\to V}, jež nazýváme sčítání vektorů,
4. zobrazení ⊙: T×V→V{\displaystyle \scriptstyle \odot :\ T\times V\to V}, jež nazýváme násobení vektorů (prvkem z tělesa).

Řekneme, že V{\displaystyle \scriptstyle V} je vektorový prostor nad tělesem T{\displaystyle \scriptstyle T} s vektorovými operacemi ⊕,⊙{\displaystyle \scriptstyle \oplus ,\odot }, právě když je množina V{\displaystyle \scriptstyle V} uzavřená na operace ⊕{\displaystyle \scriptstyle \oplus } a ⊙{\displaystyle \scriptstyle \odot } a současně platí tzv. axiomy vektorového prostoru. Těchto axiomů je osm a jejich znění je následující:

Axiomy vektorového prostoru

Č.	Slovně	Symbolicky
1	komutativita pro sčítání vektorů	(∀x→∈V)(∀y→∈V)(x→⊕y→=y→⊕x→){\displaystyle (\forall {\vec {x}}\in V)(\forall {\vec {y}}\in V)({\vec {x}}\oplus {\vec {y}}={\vec {y}}\oplus {\vec {x}})}
2	asociativita pro sčítání vektorů	(∀x→∈V)(∀y→∈V)(∀z→∈V)((x→⊕y→)⊕z→=x→⊕(y→⊕z→)){\displaystyle (\forall {\vec {x}}\in V)(\forall {\vec {y}}\in V)(\forall {\vec {z}}\in V)(({\vec {x}}\oplus {\vec {y}})\oplus {\vec {z}}={\vec {x}}\oplus ({\vec {y}}\oplus {\vec {z}}))}
3	existence nulového vektoru	(∃0→∈V)(∀x→∈V)(x→⊕0→=x→){\displaystyle (\exists {\vec {0}}\in V)(\forall {\vec {x}}\in V)({\vec {x}}\oplus {\vec {0}}={\vec {x}})}
4	existence opačného vektoru	(∀x→∈V)(∃y→∈V)(x→⊕y→=0→){\displaystyle (\forall {\vec {x}}\in V)(\exists {\vec {y}}\in V)({\vec {x}}\oplus {\vec {y}}={\vec {0}})}
5	asociativita pro násobení vektoru	(∀α∈T)(∀β∈T)(∀x→∈V)(α⊙(β⊙x→)=(α⋅β)⊙x→){\displaystyle (\forall \alpha \in T)(\forall \beta \in T)(\forall {\vec {x}}\in V)(\alpha \odot (\beta \odot {\vec {x}})=(\alpha \cdot \beta )\odot {\vec {x}})}
6	invariance vektoru při vynásobení jednotkovým prvkem tělesa	(∀x→∈V)(1⊙x→=x→){\displaystyle (\forall {\vec {x}}\in V)(1\odot {\vec {x}}={\vec {x}})}
7	distributivita násobení vektoru vzhledem ke sčítání prvků tělesa	(∀α∈T)(∀β∈T)(∀x→∈V)((α+β)⊙x→=(α⊙x→)⊕(β⊙x→)){\displaystyle (\forall \alpha \in T)(\forall \beta \in T)(\forall {\vec {x}}\in V)((\alpha +\beta )\odot {\vec {x}}=(\alpha \odot {\vec {x}})\oplus (\beta \odot {\vec {x}}))}
8	distributivita násobení vektoru vzhledem ke sčítání vektorů	(∀α∈T)(∀x→∈V)(∀y→∈V)(α⊙(x→⊕y→)=(α⊙x→)⊕(α⊙y→)){\displaystyle (\forall \alpha \in T)(\forall {\vec {x}}\in V)(\forall {\vec {y}}\in V)(\alpha \odot ({\vec {x}}\oplus {\vec {y}})=(\alpha \odot {\vec {x}})\oplus (\alpha \odot {\vec {y}}))}

Lineární nezávislost

Buď V{\displaystyle \scriptstyle V} vektorový prostor nad tělesem T{\displaystyle \scriptstyle T} a mějme dále soubor vektorů x→1,…,x→k{\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{k}} pro jisté přirozené číslo k≥1{\displaystyle \scriptstyle k\geq 1}. Uvažujme pak všechny možné lineární kombinace tohoto souboru vektorů, které jsou rovny nulovému vektoru. Pak říkáme, že soubor x→1,…,x→k{\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{k}} je lineárně nezávislý, právě když ze všech lineárních kombinací těchto vektorů je rovna nulovému vektoru jen triviální lineární kombinace. V opačném případě nazýváme soubor výše lineárně závislý.

Algebraická tělesa

Konečná tělesa

Trojici (F,+,⋅){\displaystyle ({\mathcal {F}},+,\cdot )}, kde F{\displaystyle {\mathcal {F}}} je množina a + (sčítání) a ⋅{\displaystyle \cdot } (násobení) jsou binární operace, nazveme tělesem, je-li (F,+,⋅){\displaystyle ({\mathcal {F}},+,\cdot )} okruh a platí-li navíc

• pro každé x∈F∖{0}{\displaystyle x\in {\mathcal {F}}\setminus \{0\}} existuje y∈F{\displaystyle y\in {\mathcal {F}}} takové, že x⋅y=y⋅x=1{\displaystyle x\cdot y=y\cdot x=1}, což značíme y=x−1{\displaystyle y=x^{-1}}.

Grupy

Grupou nazýváme množinu G{\displaystyle G} spolu s binární operací na ní, která se nazývá grupová operace. Tato operace libovolným dvěma prvkům grupy a,b{\displaystyle a,b} přiřazuje prvek téže grupy c{\displaystyle c}. Značení grupové operace se v literatuře liší. Obvykle se značí jako násobení c=a⋅b{\displaystyle c=a\cdot b}, resp. jenom c=ab{\displaystyle c=ab}, v Abelových grupách často jako sčítání c=a+b{\displaystyle c=a+b}, a někdy také pomocí dalších symbolů (a∘b{\displaystyle a\circ b}, resp. a∗b{\displaystyle a*b}). Podle kontextu říkáme, že c{\displaystyle c} je složení, resp. součin, resp. součet prvků a{\displaystyle a} a b{\displaystyle b}. Dále se v definici grupy požaduje, aby grupová operace splňovala určité vlastnosti, které se nazývají axiomy grupy.^[1]

Uzavřenost

Pro všechny prvky a,b{\displaystyle a,b} v G{\displaystyle G} je i složení a⋅b{\displaystyle a\cdot b} prvkem G{\displaystyle G}.^{[pozn 1]}

Asociativita

Pro všechny prvky a,b,c{\displaystyle a,b,c} grupy G{\displaystyle G} platí a⋅(b⋅c)=(a⋅b)⋅c{\displaystyle a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c}, tj. výsledek složení tří prvků nezávisí na umístění závorek.^{[pozn 2]} Díky tomu má smysl psát složení tří a více prvků a⋅b⋅c{\displaystyle a\cdot b\cdot c} i bez závorek.

Existence neutrálního prvku

Existuje prvek e∈G{\displaystyle e\in G} takový, že pro všechna a∈G{\displaystyle a\in G} platí a⋅e=e⋅a=a{\displaystyle a\cdot e=e\cdot a=a}. Tento prvek se nazývá neutrální prvek anebo jednotkový prvek a značí se také 1{\displaystyle 1}, resp. 1G{\displaystyle 1_{G}}.^{[pozn 3]}

Existence inverzního prvku

Pro každý prvek grupy a{\displaystyle a} existuje prvek b{\displaystyle b} takový, že a⋅b=b⋅a=e{\displaystyle a\cdot b=b\cdot a=e}, tj. jejich složení v libovolném pořadí je rovno neutrálnímu prvku e{\displaystyle e}. Prvek b{\displaystyle b} se také nazývá inverzní prvek k a{\displaystyle a} a značí se a−1{\displaystyle a^{-1}}. Lze ukázat, že neutrální prvek je v grupě jenom jeden a že inverzní prvek k a{\displaystyle a} je dán jednoznačně.

V grupách obecně záleží na pořadí, ve kterém prvky skládáme, tj. obecně nemusí platit a⋅b=b⋅a{\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}. Grupa, ve které tato rovnost platí pro všechna a,b{\displaystyle a,b}, se nazývá komutativní grupa nebo také Abelova grupa.

Steinitzova věta o výměně

Nechť X≡{x→1,…,x→n}{\displaystyle \scriptstyle X\equiv \{{\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}\}} a Y≡{y→1,…,y→m}{\displaystyle \scriptstyle Y\equiv \{{\vec {y}}_{1},\ldots ,{\vec {y}}_{m}\}} jsou dvě množiny vektorů z vektorového prostoru V{\displaystyle \scriptstyle V}. Nechť jsou dále vektory z množiny X{\displaystyle \scriptstyle X} lineárně nezávislé a každý z nich lze vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů z množiny Y{\displaystyle \scriptstyle Y}. Pak platí, že n≤m{\displaystyle \scriptstyle n\leq m}. Pokud n=m{\displaystyle \scriptstyle n=m}, tak je lineární obal množiny X{\displaystyle \scriptstyle X} nutně roven lineárnímu obalu množiny Y{\displaystyle \scriptstyle Y}. Neboli {X}lin={x→1,…,x→n}lin={y→1,…,y→m}lin={Y}lin{\displaystyle \scriptstyle \{X\}_{\text{lin}}=\{{\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}\}_{\text{lin}}=\{{\vec {y}}_{1},\ldots ,{\vec {y}}_{m}\}_{\text{lin}}=\{Y\}_{\text{lin}}}. (Výraz {X}lin{\displaystyle \scriptstyle \{X\}_{\text{lin}}} značí lineární obal množiny X{\displaystyle \scriptstyle X} atd.). Dále, pokud platí ostrá nerovnost n<m{\displaystyle \scriptstyle n<m}, tak existují navzájem různé indexy i1,…,im−n∈{1,…,m}{\displaystyle \scriptstyle i_{1},\ldots ,i_{m-n}\in \{1,\ldots ,m\}} takové, že

{y→1,…,y→m}lin={x→1,…,x→n,y→i1,…,y→im−n}lin.{\displaystyle \{{\vec {y}}_{1},\ldots ,{\vec {y}}_{m}\}_{\text{lin}}=\{{\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n},{\vec {y}}_{i_{1}},\ldots ,{\vec {y}}_{i_{m-n}}\}_{\text{lin}}.}

Generátory

Mějme vektorový prostor V{\displaystyle \scriptstyle V} a dále jeho jistou neprázdnou podmnožinu X⊂V{\displaystyle \scriptstyle X\subset V}. Pak říkáme, že množina X{\displaystyle \scriptstyle X} generuje vektorový prostor V{\displaystyle \scriptstyle V}, právě když lze každý vektor z prostoru V{\displaystyle \scriptstyle V} vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů z množiny X{\displaystyle \scriptstyle X}. Prvky množiny X{\displaystyle \scriptstyle X} pak nazýváme generátory vektorového prostoru V{\displaystyle \scriptstyle V}.

Lineární obal

Mějme vektorový prostor V{\displaystyle \scriptstyle V} nad tělesem T{\displaystyle \scriptstyle T} a množinu vektorů x→1,x→2,…,x→n{\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}_{1},{\vec {x}}_{2},\ldots ,{\vec {x}}_{n}} pro jisté přirozené číslo n{\displaystyle \scriptstyle n}. Pak množinu všech lineárních kombinací těchto vektorů nazýváme jejich lineárním obalem (anglicky linear span, někdy též linear hull). Označíme-li lineární obal vektorů x→1,x→2,…,x→n{\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}_{1},{\vec {x}}_{2},\ldots ,{\vec {x}}_{n}} jako {x→1,x→2,…,x→n}lin{\displaystyle \scriptstyle \{{\vec {x}}_{1},{\vec {x}}_{2},\ldots ,{\vec {x}}_{n}\}_{\text{lin}}}, můžeme ho matematicky vyjádřit jako množinu

{x→1,x→2,…,x→n}lin={∑i=1nαix→i|(∀i∈{1,…,n})(αi∈T)},{\displaystyle \{{\vec {x}}_{1},{\vec {x}}_{2},\ldots ,{\vec {x}}_{n}\}_{\text{lin}}=\left\{\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}{\vec {x}}_{i}{\Bigg |}(\forall i\in \{1,\ldots ,n\})(\alpha _{i}\in T)\right\},}

Vektory x→1,x→2,…,x→n{\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}_{1},{\vec {x}}_{2},\ldots ,{\vec {x}}_{n}} se pak nazývají generátory lineárního obalu, jim příslušného. Říkáme též, že vektory x→1,x→2,…,x→n{\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}_{1},{\vec {x}}_{2},\ldots ,{\vec {x}}_{n}} generují daný lineární obal, potažmo množinu.

Báze

Báze vektorového prostoru V{\displaystyle \scriptstyle V} je takový lineárně nezávislý soubor vektorů x→1,…,x→n{\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}}, pro který platí rovnost V={x→1,…,x→n}lin{\displaystyle \scriptstyle V=\{{\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}\}_{\text{lin}}}. Vektory x→1,…,x→n{\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}} pak nazýváme bazické vektory. V symbolech tedy

vektory x→1,…,x→n tvoří bázi prostoru V⇔(x→1,…,x→n jsou lineárně nezávislé ∧ V={x→1,…,x→n}lin).{\displaystyle {\text{vektory }}{\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}{\text{ tvoří bázi prostoru }}V\quad \Leftrightarrow \quad ({\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}{\text{ jsou lineárně nezávislé }}\wedge \ V=\{{\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}\}_{\text{lin}}).}

Důkaz

Proveďme důkaz neúplnou matematickou indukcí. Předpokládejme nejprve n≤m{\displaystyle \scriptstyle n\leq m}, poté ukážeme, že předpoklad n>m{\displaystyle \scriptstyle n>m} vede ke sporu. Pro počáteční krok matematické indukce uvažujme množinu {x→1,y→1,…,y→m}{\displaystyle \scriptstyle \{{\vec {x}}_{1},{\vec {y}}_{1},\ldots ,{\vec {y}}_{m}\}} vzniklou tak, že k vektorům z množiny Y{\displaystyle \scriptstyle Y} přidáme jeden ("první") vektor z množiny X{\displaystyle \scriptstyle X}. O vektorech z množiny X{\displaystyle \scriptstyle X} ovšem víme, že je lze vyjádřit pomocí vektorů z Y{\displaystyle \scriptstyle Y} a námi sestrojená množina je tak lineárně závislá. Existuje v ní tedy vektor y→i1{\displaystyle \scriptstyle {\vec {y}}_{i_{1}}} pro jistý index i1∈{1,…,m}{\displaystyle \scriptstyle i_{1}\in \{1,\ldots ,m\}}, který lze nakombinovat ze zbylých vektorů této množiny. Neboli

y→i1∈{x→1,y→1,…,y→i1−1,y→i1+1,…,y→m}lin,{\displaystyle {\vec {y}}_{i_{1}}\in \{{\vec {x}}_{1},{\vec {y}}_{1},\ldots ,{\vec {y}}_{i_{1}-1},{\vec {y}}_{i_{1}+1},\ldots ,{\vec {y}}_{m}\}_{\text{lin}},}

kde symbol {…}lin{\displaystyle \scriptstyle \{\ldots \}_{\text{lin}}} značí lineární obal. Ačkoliv nám lineární závislost množiny vektorů zajišťuje, že v ní existuje vektor, který lze nakombinovat pomocí ostatních, mohli jsme s klidem vzít za tento vektor jeden z vektorů množiny Y{\displaystyle \scriptstyle Y} a ne opět vektor x→1{\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}_{1}}. To, že je množina {x→1,y→1,…,y→m}{\displaystyle \scriptstyle \{{\vec {x}}_{1},{\vec {y}}_{1},\ldots ,{\vec {y}}_{m}\}} lineárně závislá totiž znamená, že existuje netriviální lineární kombinace α0x→1+∑i=1mαiy→i{\displaystyle \scriptstyle \alpha _{0}{\vec {x}}_{1}+\sum _{i=1}^{m}\alpha _{i}{\vec {y}}_{i}} rovná nulovému vektoru. Kdyby α0≠0{\displaystyle \scriptstyle \alpha _{0}\neq 0} a všechny ostatní koeficienty byly nulové, byl by to spor s lineární nezávislostí množiny X.{\displaystyle \scriptstyle X.} Existuje tedy nenulový koeficient αi1{\displaystyle \scriptstyle \alpha _{i_{1}}}, kde i1∈{1,…,m}{\displaystyle \scriptstyle i_{1}\in \{1,\ldots ,m\}} je jistý index vektoru z Y{\displaystyle \scriptstyle Y}. Tímto koeficientem můžeme dělit a vyjádřit dané y→i1{\displaystyle \scriptstyle {\vec {y}}_{i_{1}}} pomocí zbylých vektorů způsobem

y→i1=1αi1(−α0x→1−∑i=1,i≠i1mαiy→i).{\displaystyle {\vec {y}}_{i_{1}}={\frac {1}{\alpha _{i_{1}}}}\left(-\alpha _{0}{\vec {x}}_{1}-\sum _{i=1,i\neq i_{1}}^{m}\alpha _{i}{\vec {y}}_{i}\right).}

Protože vektor x→1{\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}_{1}} lze nakombinovat z vektorů z Y{\displaystyle \scriptstyle Y}, je {Y}lin={x→1,y→1,…,y→m}lin{\displaystyle \scriptstyle \{Y\}_{\text{lin}}=\{{\vec {x}}_{1},{\vec {y}}_{1},\ldots ,{\vec {y}}_{m}\}_{\text{lin}}}. Obdobně pro y→i1{\displaystyle \scriptstyle {\vec {y}}_{i_{1}}} a máme tedy

{Y}lin={x→1,y→1,…,y→i1−1,y→i1+1,…,y→m}lin,{\displaystyle \{Y\}_{\text{lin}}=\{{\vec {x}}_{1},{\vec {y}}_{1},\ldots ,{\vec {y}}_{i_{1}-1},{\vec {y}}_{i_{1}+1},\ldots ,{\vec {y}}_{m}\}_{\text{lin}},}

viz (druhé) tvrzení v oddíle Ostatní v článku Lineární obal. Přikročme nyní k důkazu indukčního kroku. Předpokládejme, že pro všechna přirozená k≥1{\displaystyle \scriptstyle k\geq 1}, kde k<n{\displaystyle \scriptstyle k<n}, existují navzájem různé indexy i1,…,im−k∈{1,…,m}{\displaystyle \scriptstyle i_{1},\ldots ,i_{m-k}\in \{1,\ldots ,m\}} tak, že

{Y}lin={x→1,…,x→k,y→i1,…,y→im−k}lin.{\displaystyle \{Y\}_{\text{lin}}=\{{\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{k},{\vec {y}}_{i_{1}},\ldots ,{\vec {y}}_{i_{m-k}}\}_{\text{lin}}.}

Neboť z předpokladů věty platí, že x→k+1∈{Y}lin{\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}_{k+1}\in \{Y\}_{\text{lin}}}, je množina {x→1,…,x→k,x→k+1,y→i1,…,y→im−k}{\displaystyle \scriptstyle \{{\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{k},{\vec {x}}_{k+1},{\vec {y}}_{i_{1}},\ldots ,{\vec {y}}_{i_{m-k}}\}} lineárně závislá, přičemž množina {x→1,…,x→k+1}{\displaystyle \scriptstyle \{{\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{k+1}\}} je lineárně nezávislá. V první jmenované množině tedy existuje vektor y→ip{\displaystyle \scriptstyle {\vec {y}}_{i_{p}}} pro jisté ip∈{1,…,m}{\displaystyle \scriptstyle i_{p}\in \{1,\ldots ,m\}} (kde p∈{1,…,m−k}{\displaystyle \scriptstyle p\in \{1,\ldots ,m-k\}}), který lze vyjádřit pomocí zbylých vektorů. Postupem obdobným tomu pro y→i1{\displaystyle \scriptstyle {\vec {y}}_{i_{1}}} dospíváme k rovnosti

{Y}lin={x→1,…,x→k,x→k+1,y→i1,…,y→ip−1,y→ip+1,…,y→im−k}lin.{\displaystyle \{Y\}_{\text{lin}}=\{{\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{k},{\vec {x}}_{k+1},{\vec {y}}_{i_{1}},\ldots ,{\vec {y}}_{i_{p}-1},{\vec {y}}_{i_{p}+1},\ldots ,{\vec {y}}_{i_{m-k}}\}_{\text{lin}}.}

Přeznačíme-li indexy u vektorů v předchozím vzorci, dostáváme vztah

{Y}lin={x→1,…,x→k,x→k+1,y→j1,…,y→jm−k−1}lin,{\displaystyle \{Y\}_{\text{lin}}=\{{\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{k},{\vec {x}}_{k+1},{\vec {y}}_{j_{1}},\ldots ,{\vec {y}}_{j_{m-k-1}}\}_{\text{lin}},}

který dokončuje indukční krok. Pro případ n≤m{\displaystyle \scriptstyle n\leq m} máme tedy větu dokázánu. Předpokládejme nyní, že n>m{\displaystyle \scriptstyle n>m}. Kdybychom postupovali postupem stejným jako výše, tak bychom se dostali postupným přidáváním vektorů k původnímu lineárnímu obalu do stavu, kdy chceme přidat vektor x→m+1{\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}_{m+1}}, nemáme už ale žádný zbylý vektor z Y{\displaystyle \scriptstyle Y}, za který bychom ho mohli vyměnit. Neboli bychom měli

{Y}lin={x→1,…,x→m}lin.{\displaystyle \{Y\}_{\text{lin}}=\{{\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{m}\}_{\text{lin}}.}

Z předpokladů věty ale x→m+1∈{Y}lin{\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}_{m+1}\in \{Y\}_{\text{lin}}} a podle rovnosti výše můžeme tento vektor vyjádřit pomocí zbylých vektorů z množiny X{\displaystyle \scriptstyle X}. To je ale spor s lineární nezávislostí množiny X{\displaystyle \scriptstyle X}, což dokončuje důkaz věty.